17 de abr de 2013

Exercício 11


As Curvas de Lissajous são dadas parametricamente por

$x(\theta) =  a \sin(m\theta + p)$, $y(\theta)=b \sin(n\theta + q)$

onde $a,\ b,\ m,\ m,\ p,\ q$ são constantes ($abmn \neq 0$). Curvas destes tipo ocorrem na investigação de fenômenos vibratórios.

(a) Esboce a curva, supondo $m=2,\ n=3,\ a=b=1,\ p=0,\ q=\pi /4$.


(b) Mostre que a curva não é algébrica se $m/n$ é irracional.

Temos que

$x(\theta)= a \sin(m\theta+p) \therefore $
$x(\theta)= \alpha \sin(m\theta) + \beta \cos(m\theta)$, $\alpha=\frac{\cos p}{a},\ \beta=\frac{\sin p}{a}$
e
$y(\theta)= b \sin(n\theta+q) \therefore $
$y(\theta)= \gamma \sin(n\theta) + \delta \cos(n\theta)$, $\gamma=\frac{\cos q}{b},\ \delta=\frac{\sin q}{b}$

Portanto, as funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ são funções compostas de $\sin(t \theta),\ \cos(t\theta),\ t \in \mathbb{R}$, pois $\alpha,\beta,\gamma$ e $\delta$ são constantes. As funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ serão racionais quando as funções $\sin(t\theta)$ e $\cos(t\theta)$ puderem ser escritas como quocientes de polinômios, ou seja, $t \in \mathbb{Z}$.

De fato, para $t$ inteiro, podemos considerar a expansão de $\sin(t\theta)$:

Seja $r=\cos\theta$ e $s=\sin\theta$
$t=1 \Rightarrow \sin(\theta)=s$
$t=2 \Rightarrow \sin(2\theta)=2 \sin\theta\cos\theta$
$t=3 \Rightarrow \sin(3\theta)=3 \sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta$
$t=4 \Rightarrow \sin(4\theta)=4\sin\theta\cos^3\theta-4\sin^3\theta\cos\theta$
E assim sucessivamente.

Da maneira análoga teremos o mesmo desenvolvimento para $\cos(t\theta)$.

Se $m/n$ for irracional, não teremos como efetuar a expansão em termos de $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$. Logo, as funções $x(\theta)$ ou $y(\theta)$ não serão racionais e, consequentemente, a curva não será algébrica se $m/n$ for irracional (ou seja, $m$ ou $n$ irracionais).


(c) Se m é inteiro, mostre que $x(\theta)$ pertence ao anel $A$ gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$

Seja $A$ o anel gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$, logo $A=\{a(\theta)|a(\theta)=\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta),\ i,j \in \mathbb{N}\}$


Portanto, conforme demonstrado no item (b), podemos reescrever $x(\theta)$ na forma $\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta)$, ou seja, $x(\theta) \in A$.

(d) Mostre que $A$ é um domínio e que seu corpo de frações é igual a $\mathbb{R}(T)$, onde $T=\tan(\theta / 2)$.


$\sin\theta=\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ e $\cos\theta=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

Logo,

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{k_i}\left(\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{l_i}$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, temos

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2T^2}{1+T^2}\right)^{k_i}\left(\frac{1-T^2}{1+T^2}\right)^{l_i}$

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\frac{2T^{2k_i}(1-T^2)^{l_i}}{(1+T^2)^{k_i+l_i}}$

Logo, $x(T) \in \mathbb{R}(T)$, onde $\mathbb{R} \supseteq A$ é o corpo de frações de $A$.


(e) Conclua que uma curva de Lissajous com $m/n$ racional é algébrica. Ache a equação polinomial no caso considerado em (a).


Se $m$ e $n$ são inteiros, $m/n$ é racional, porém, o contrário não é necessariamente verdade, pois $m$ ou $n$ podem ser racionais. Porém, não consegui (ainda) fazer a demonstração para $m$ ou $n$ racionais, somente inteiros. A partir desta hipótese prosseguirei.

No item (b) demonstramos que, para $m$ e $n$ inteiros, a curva é algébrica.

As equação paramétricas em (a) são as seguintes

$x(\theta)=\sin(2\theta)$, $y(\theta)=\sin(3\theta+\frac{\pi}{4})$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$,

$x(T)=\frac{4T^2-4T^4}{1+2T^2+T^4}$, $y(T)=\frac{3\sqrt{2}T^6-11\sqrt{2}T^4-\sqrt{2}T^2+\sqrt{2}}{2T^6+6T^4+6T^2+2}$

(ocorreu um overflow no meu processamento algébrico, um dia "desparametrizo" isso)




4 de abr de 2013

Curvas de Lissajous

Eu não planejava resolver o exercício 11, pois é mais prático do que teórico. Portanto, vi que seria um bom exemplo para aplicar os resultados anteriores.

Não vou postar agora, mas adianto que é uma série de tarefas sobre as Curvas de Lissajous. Elas são parametrizadas por: $x(\theta) = a \sin(m \theta + p)$, $y(\theta)= b \sin(n \theta + q)$, onde $a,b,m,n,p,q$ são constantes não nulas. Ao final, ele pede que se conclua que uma curva de Lissajous com $m/n$ racional é algébrica.

Um belo exercício!

Imagem: Wolfram MathWorld.

3 de abr de 2013

Exercício 10

10. Uma curva é racional se for definida parametricamente por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ indicadas são racionais e ao menos uma é não constante. Mostre que toda curva racional é algébrica.

Dem.:

Demonstramos no exercício 9 que, dadas duas funções racionais $x=x(T)$ e $y=y(T)$, existe um polinômio $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$. Logo, se uma curva é parametrizada por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ são funções racionais, podemos afirmar que existe um polinômio $f(X,Y)=0$, o qual determina uma curva algébrica $f$. Portanto, toda curva racional é algébrica.

$\square$

Obs.: Neste resultado estamos considerando apenas as curvas algébricas planas. Para curvas de dimensões maiores, basta generalizarmos o resultado do exercício anterior para curvas parametrizadas por $n$ funções racionais.

Exercício 9

9. Sejam $x=x(T)$, $y=y(T)$ funções racionais. Mostre que existe um polinômio não constante $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$.

Dem.:

Seja $K(t)$ corpo das funções racionais no corpo $K$.

$x \in K(T) \setminus K \Rightarrow x = \frac{p(T)}{q(T)}, \ p,q \in K[T] \therefore q(T)x - p(T)=0 $
Então, $T$ é raiz de $g(z)=q(z)x-p(z) \in K[x][z] \subseteq K(x)[z]$
Logo, $K(T)=K(x)[T]$ é extensão algébrica de $K(x)$.

Temos também que $y \in K(T)$ é algébrico sobre $K(x)$, portanto,
$\exists h(z) \in K(x)[z]$ tal que $h(y)=0$

$h(z)=\sum_{i=1}^{n}a_iz^i, \ a_i \in K(x), a_i=\frac{r_i(x)}{s_i(x)}, \ r_i,s_i \in K[x], \ s_i \neq 0 \ \forall i$

Então, $h(z) \left(\prod^n_{i=1}s_i(x) \right) \in K[x][z] \therefore h(y)\left(\prod^n_{i=1}s_i(x) \right) =f(x,y), \  f(x,y) \in K[x,y]$

Portanto, como $h(y)=0$ para algum $h \in K(x)[y]$, temos então que existe $f(X,Y) \in K[X,Y]$ tal que $f(x,y)=0$.

$\square$

Adaptação minha da demonstração feita por Clayton Botas.

Obs: este resultado é muito importante, pois nos permite determinar se certas curvas são algébricas ou não através de suas parametrizações, conforme veremos no exercício 10.

2 de abr de 2013

Exercícios de Curvas

Como uma grande tarefa, me disponho a transcrever aqui as resoluções de uma série de exercícios selecionados do livro Introdução às Curvas Algébricas Planas de Israel Vainsencher, publicado pelo IMPA.

Para começar, postarei em breve a solução dos exercícios 9 e 10 do capítulo 1 (pág. 8).

Imagem: IMPA

Teste com DropBox

Infelizmente o Blogger não possui repositório próprio de arquivos como no WordPress. Mas ainda prefiro o Blogger.

Resumo Curvas Planas.

Temática

Resolvi, por enquanto, resumir minha temática às curvas algébricas planas (por causa da minha IC) e teoria dos números (que gosto tanto). Não me vejo apto, por enquanto, a me enveredar pelos caminhos da análise, álgebra abstrata, e outros tantos temas demasiadamente "avançados". Vamos avançando gradualmente.

Permanência

Este ano vou continuar no bacharelado, principalmente por causa da minha IC. Quero também fazer algumas disciplinas importantes que são exclusivas do bacharelado. Em paralelo, vou estudar para os concursos do magistério (principalmente o do estado do Rio). Vou tentar também voltar a estudar Java para aplicações em gráficos 2D. Quero inventar um monte de coisas matematicamente legais para a garotada brincar.

1 de abr de 2013

$\LaTeX$ no Blogger

Basta adicionar o script abaixo no cabeçalho do código HTML do seu modelo (Modelo > Editar HTML).

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Exemplos:

$x^3\equiv1\pmod{63}$
$mdc(a,m)=1 \Rightarrow a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ (Teo. de Euler)
$\int_0^\infty{e^{-2t}sen(t)\,dt}$

Fonte: MathJax

Mestrado

É… Vou tentar o mestrado em matemática na UFF, mas só em 2014. Este ano vou arrumar as coisas e me preparar para o nivelamento. Quem sabe ainda curso alguma disciplina de nivelamento este ano? Se pintar alguns “bicos”, caio dentro. Afinal de contas, só a bolsa da IC não é o suficiente.