3 de abr de 2013

Exercício 10

10. Uma curva é racional se for definida parametricamente por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ indicadas são racionais e ao menos uma é não constante. Mostre que toda curva racional é algébrica.

Dem.:

Demonstramos no exercício 9 que, dadas duas funções racionais $x=x(T)$ e $y=y(T)$, existe um polinômio $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$. Logo, se uma curva é parametrizada por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ são funções racionais, podemos afirmar que existe um polinômio $f(X,Y)=0$, o qual determina uma curva algébrica $f$. Portanto, toda curva racional é algébrica.

$\square$

Obs.: Neste resultado estamos considerando apenas as curvas algébricas planas. Para curvas de dimensões maiores, basta generalizarmos o resultado do exercício anterior para curvas parametrizadas por $n$ funções racionais.

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