Exercício 9

9. Sejam $x=x(T)$, $y=y(T)$ funções racionais. Mostre que existe um polinômio não constante $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$.

Dem.:

Seja $K(t)$ corpo das funções racionais no corpo $K$.

$x \in K(T) \setminus K \Rightarrow x = \frac{p(T)}{q(T)}, \ p,q \in K[T] \therefore q(T)x - p(T)=0 $
Então, $T$ é raiz de $g(z)=q(z)x-p(z) \in K[x][z] \subseteq K(x)[z]$
Logo, $K(T)=K(x)[T]$ é extensão algébrica de $K(x)$.

Temos também que $y \in K(T)$ é algébrico sobre $K(x)$, portanto,
$\exists h(z) \in K(x)[z]$ tal que $h(y)=0$

$h(z)=\sum_{i=1}^{n}a_iz^i, \ a_i \in K(x), a_i=\frac{r_i(x)}{s_i(x)}, \ r_i,s_i \in K[x], \ s_i \neq 0 \ \forall i$

Então, $h(z) \left(\prod^n_{i=1}s_i(x) \right) \in K[x][z] \therefore h(y)\left(\prod^n_{i=1}s_i(x) \right) =f(x,y), \  f(x,y) \in K[x,y]$

Portanto, como $h(y)=0$ para algum $h \in K(x)[y]$, temos então que existe $f(X,Y) \in K[X,Y]$ tal que $f(x,y)=0$.

$\square$

Adaptação minha da demonstração feita por Clayton Botas.

Obs: este resultado é muito importante, pois nos permite determinar se certas curvas são algébricas ou não através de suas parametrizações, conforme veremos no exercício 10.

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