Exercício 11

As Curvas de Lissajous são dadas parametricamente por

$$x(\theta) =  a \sin(m\theta + p)$, $y(\theta)=b \sin(n\theta + q)$$

onde $a,\ b,\ m,\ m,\ p,\ q$ são constantes ($abmn \neq 0$). Curvas destes tipo ocorrem na investigação de fenômenos vibratórios.

(a) Esboce a curva, supondo $m=2,\ n=3,\ a=b=1,\ p=0,\ q=\pi /4$.

(b) Mostre que a curva não é algébrica se $m/n$ é irracional.

Temos que

$x(\theta)= a \sin(m\theta+p) \therefore $
$x(\theta)= \alpha \sin(m\theta) + \beta \cos(m\theta)$, $\alpha=\frac{\cos p}{a},\ \beta=\frac{\sin p}{a}$
e
$y(\theta)= b \sin(n\theta+q) \therefore $
$y(\theta)= \gamma \sin(n\theta) + \delta \cos(n\theta)$, $\gamma=\frac{\cos q}{b},\ \delta=\frac{\sin q}{b}$

Portanto, as funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ são funções compostas de $\sin(t \theta),\ \cos(t\theta),\ t \in \mathbb{R}$, pois $\alpha,\beta,\gamma$ e $\delta$ são constantes. As funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ serão racionais quando as funções $\sin(t\theta)$ e $\cos(t\theta)$ puderem ser escritas como quocientes de polinômios, ou seja, $t \in \mathbb{Z}$.

De fato, para $t$ inteiro, podemos considerar a expansão de $\sin(t\theta)$:

Seja $r=\cos\theta$ e $s=\sin\theta$
$t=1 \Rightarrow \sin(\theta)=s$
$t=2 \Rightarrow \sin(2\theta)=2 \sin\theta\cos\theta$
$t=3 \Rightarrow \sin(3\theta)=3 \sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta$
$t=4 \Rightarrow \sin(4\theta)=4\sin\theta\cos^3\theta-4\sin^3\theta\cos\theta$
E assim sucessivamente.

Da maneira análoga teremos o mesmo desenvolvimento para $\cos(t\theta)$.

Se $m/n$ for irracional, não teremos como efetuar a expansão em termos de $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$. Logo, as funções $x(\theta)$ ou $y(\theta)$ não serão racionais e, consequentemente, a curva não será algébrica se $m/n$ for irracional (ou seja, $m$ ou $n$ irracionais).


(c) Se m é inteiro, mostre que $x(\theta)$ pertence ao anel $A$ gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$

Seja $A$ o anel gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$, logo $A=\{a(\theta)|a(\theta)=\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta),\ i,j \in \mathbb{N}\}$


Portanto, conforme demonstrado no item (b), podemos reescrever $x(\theta)$ na forma $\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta)$, ou seja, $x(\theta) \in A$.

(d) Mostre que $A$ é um domínio e que seu corpo de frações é igual a $\mathbb{R}(T)$, onde $T=\tan(\theta / 2)$.


$\sin\theta=\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ e $\cos\theta=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

Logo,

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{k_i}\left(\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{l_i}$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, temos

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2T^2}{1+T^2}\right)^{k_i}\left(\frac{1-T^2}{1+T^2}\right)^{l_i}$

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\frac{2T^{2k_i}(1-T^2)^{l_i}}{(1+T^2)^{k_i+l_i}}$

Logo, $x(T) \in \mathbb{R}(T)$, onde $\mathbb{R} \supseteq A$ é o corpo de frações de $A$.

(e) Conclua que uma curva de Lissajous com $m/n$ racional é algébrica. Ache a equação polinomial no caso considerado em (a).


Se $m$ e $n$ são inteiros, $m/n$ é racional, porém, o contrário não é necessariamente verdade, pois $m$ ou $n$ podem ser racionais. Porém, não consegui (ainda) fazer a demonstração para $m$ ou $n$ racionais, somente inteiros. A partir desta hipótese prosseguirei.

No item (b) demonstramos que, para $m$ e $n$ inteiros, a curva é algébrica.

As equação paramétricas em (a) são as seguintes

$x(\theta)=\sin(2\theta)$, $y(\theta)=\sin(3\theta+\frac{\pi}{4})$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$,

$x(T)=\frac{4T^2-4T^4}{1+2T^2+T^4}$, $y(T)=\frac{3\sqrt{2}T^6-11\sqrt{2}T^4-\sqrt{2}T^2+\sqrt{2}}{2T^6+6T^4+6T^2+2}$

(ocorreu um overflow no meu processamento algébrico, um dia "desparametrizo" isso)