2 de mai de 2014

Perfis na docência.

Neste raro momento de tranquilidade, posso me dar ao luxo de escrever estas linhas sem nenhuma preocupação. Aproveito então para escrever um pouco sobre minha experiência como docente e o que penso sobre o perfil do docente:

Tenho enfrentado muitos problemas devido à falta de interesse dos alunos em se dedicar aos estudos. Eu sei que esse tema é o mais popular e o mais difícil entre os discutidos atualmente pelos teóricos da educação, principalmente os da matemática. O problema talvez seja o meu perfil. Modéstia à parte, sei que tenho muita capacidade e domínio no contexto do conteúdo, porém, tenho esbarrado na didática e no maldito domínio de turma. Será que conseguirei vencer estes obstáculos? Não sei. Acredito que só o tempo me mostre isto (a perseverança também). Mas, voltando ao perfil, vou traçar uma meta direcionada para instituições de caráter mais "tecnicista". Talvez tenha mais a ver comigo. Eu sei que isso pode parecer, pelo ponto de vista da atual educação matemática, uma blasfêmia, mas digo antes: eu falo isto não por desconhecimento da causa, mas pela lei da sobrevivência. Não sou mais menino e preciso "levar o pão para a mesa". Não posso, por enquanto, me dar ao luxo de ser um idealista que irá salvar o mundo (até por que, o que se ganha e o que se pede em instituições privadas de pequeno porte, não vale a pena mesmo). Melhor deixar isto para depois.

29 de set de 2013

Oficialmente Professor!

Não sei por que não postei isto antes, mas, em agosto, consegui uma vaga como professor de Matemática em um colégio particular aqui nas proximidades (fundamental e médio). Um grande motivo para comemorar, pois é meu primeiro emprego como professor (uhuu!). Eu já sabia a priori que se tratava de uma profissão difícil, mas a paixão que tenho pela Matemática e pelo conhecimento me dão forças para encarar este novo desafio. Já superei algumas barreiras, porém, venho encarando outras. Assim eu vou levando. Agora preciso urgentemente me preparar para o mestrado. Minha filha já está amadurecendo e estou tendo mais tempo para estudar (será mesmo?). Espero em breve estar dando um salto em direção ao ensino na educação superior, o qual é meu objetivo.

15 de mai de 2013

Comemoração!

Consegui inscrever um trabalho para o XI ENEM (Encontro Nacional de Educação Matemática). Segue o resumo:


A RÉGUA DE CÁLCULO:  UMA APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS


Criada no século XVII por William Oughtred, a régua de cálculo tornou-se peça de museu após o advento das modernas calculadoras portáteis. O presente trabalho tem como objetivo restaurar o conhecimento acerca deste dispositivo e apresentar duas atividades que relacionem o funcionamento da régua de cálculo às propriedades dos logaritmos estudadas pelos alunos do primeiro ano do ensino médio. As atividades também se propõem a fazer com que os alunos tomem conhecimento de um dispositivo que teve papel tão significativo no desenvolvimento da ciência e da tecnologia. Serão apresentadas duas atividades: uma relacionada à investigação do funcionamento da régua, através do que foi aprendido com relação às propriedades dos logaritmos, e outra à elaboração e uso de uma régua de cálculo artesanal, utilizando-se papel quadriculado mono-log (ou semi-log).

Sumiço.

Recomeçaram as aulas e há muitos problemas domésticos a serem resolvidos... Mas volto, pois ainda tenho que postar mais exercícios de curvas resolvidos. Até breve!

17 de abr de 2013

Exercício 11


As Curvas de Lissajous são dadas parametricamente por

$x(\theta) =  a \sin(m\theta + p)$, $y(\theta)=b \sin(n\theta + q)$

onde $a,\ b,\ m,\ m,\ p,\ q$ são constantes ($abmn \neq 0$). Curvas destes tipo ocorrem na investigação de fenômenos vibratórios.

(a) Esboce a curva, supondo $m=2,\ n=3,\ a=b=1,\ p=0,\ q=\pi /4$.


(b) Mostre que a curva não é algébrica se $m/n$ é irracional.

Temos que

$x(\theta)= a \sin(m\theta+p) \therefore $
$x(\theta)= \alpha \sin(m\theta) + \beta \cos(m\theta)$, $\alpha=\frac{\cos p}{a},\ \beta=\frac{\sin p}{a}$
e
$y(\theta)= b \sin(n\theta+q) \therefore $
$y(\theta)= \gamma \sin(n\theta) + \delta \cos(n\theta)$, $\gamma=\frac{\cos q}{b},\ \delta=\frac{\sin q}{b}$

Portanto, as funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ são funções compostas de $\sin(t \theta),\ \cos(t\theta),\ t \in \mathbb{R}$, pois $\alpha,\beta,\gamma$ e $\delta$ são constantes. As funções $x(\theta)$ e $y(\theta)$ serão racionais quando as funções $\sin(t\theta)$ e $\cos(t\theta)$ puderem ser escritas como quocientes de polinômios, ou seja, $t \in \mathbb{Z}$.

De fato, para $t$ inteiro, podemos considerar a expansão de $\sin(t\theta)$:

Seja $r=\cos\theta$ e $s=\sin\theta$
$t=1 \Rightarrow \sin(\theta)=s$
$t=2 \Rightarrow \sin(2\theta)=2 \sin\theta\cos\theta$
$t=3 \Rightarrow \sin(3\theta)=3 \sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta$
$t=4 \Rightarrow \sin(4\theta)=4\sin\theta\cos^3\theta-4\sin^3\theta\cos\theta$
E assim sucessivamente.

Da maneira análoga teremos o mesmo desenvolvimento para $\cos(t\theta)$.

Se $m/n$ for irracional, não teremos como efetuar a expansão em termos de $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$. Logo, as funções $x(\theta)$ ou $y(\theta)$ não serão racionais e, consequentemente, a curva não será algébrica se $m/n$ for irracional (ou seja, $m$ ou $n$ irracionais).


(c) Se m é inteiro, mostre que $x(\theta)$ pertence ao anel $A$ gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$

Seja $A$ o anel gerado pelas funções $\sin\theta$, $\cos\theta$, logo $A=\{a(\theta)|a(\theta)=\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta),\ i,j \in \mathbb{N}\}$


Portanto, conforme demonstrado no item (b), podemos reescrever $x(\theta)$ na forma $\sum(\sin^i\theta\cos^j\theta)$, ou seja, $x(\theta) \in A$.

(d) Mostre que $A$ é um domínio e que seu corpo de frações é igual a $\mathbb{R}(T)$, onde $T=\tan(\theta / 2)$.


$\sin\theta=\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ e $\cos\theta=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

Logo,

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{k_i}\left(\frac{1-\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^{l_i}$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, temos

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\left(\frac{2T^2}{1+T^2}\right)^{k_i}\left(\frac{1-T^2}{1+T^2}\right)^{l_i}$

$x(\theta) = \sum^{m}_{i=1} a_i\frac{2T^{2k_i}(1-T^2)^{l_i}}{(1+T^2)^{k_i+l_i}}$

Logo, $x(T) \in \mathbb{R}(T)$, onde $\mathbb{R} \supseteq A$ é o corpo de frações de $A$.


(e) Conclua que uma curva de Lissajous com $m/n$ racional é algébrica. Ache a equação polinomial no caso considerado em (a).


Se $m$ e $n$ são inteiros, $m/n$ é racional, porém, o contrário não é necessariamente verdade, pois $m$ ou $n$ podem ser racionais. Porém, não consegui (ainda) fazer a demonstração para $m$ ou $n$ racionais, somente inteiros. A partir desta hipótese prosseguirei.

No item (b) demonstramos que, para $m$ e $n$ inteiros, a curva é algébrica.

As equação paramétricas em (a) são as seguintes

$x(\theta)=\sin(2\theta)$, $y(\theta)=\sin(3\theta+\frac{\pi}{4})$

Fazendo $T=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$,

$x(T)=\frac{4T^2-4T^4}{1+2T^2+T^4}$, $y(T)=\frac{3\sqrt{2}T^6-11\sqrt{2}T^4-\sqrt{2}T^2+\sqrt{2}}{2T^6+6T^4+6T^2+2}$

(ocorreu um overflow no meu processamento algébrico, um dia "desparametrizo" isso)




4 de abr de 2013

Curvas de Lissajous

Eu não planejava resolver o exercício 11, pois é mais prático do que teórico. Portanto, vi que seria um bom exemplo para aplicar os resultados anteriores.

Não vou postar agora, mas adianto que é uma série de tarefas sobre as Curvas de Lissajous. Elas são parametrizadas por: $x(\theta) = a \sin(m \theta + p)$, $y(\theta)= b \sin(n \theta + q)$, onde $a,b,m,n,p,q$ são constantes não nulas. Ao final, ele pede que se conclua que uma curva de Lissajous com $m/n$ racional é algébrica.

Um belo exercício!

Imagem: Wolfram MathWorld.

3 de abr de 2013

Exercício 10

10. Uma curva é racional se for definida parametricamente por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ indicadas são racionais e ao menos uma é não constante. Mostre que toda curva racional é algébrica.

Dem.:

Demonstramos no exercício 9 que, dadas duas funções racionais $x=x(T)$ e $y=y(T)$, existe um polinômio $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$. Logo, se uma curva é parametrizada por equações $X=x(T)$, $Y=y(T)$, onde as funções de $T$ são funções racionais, podemos afirmar que existe um polinômio $f(X,Y)=0$, o qual determina uma curva algébrica $f$. Portanto, toda curva racional é algébrica.

$\square$

Obs.: Neste resultado estamos considerando apenas as curvas algébricas planas. Para curvas de dimensões maiores, basta generalizarmos o resultado do exercício anterior para curvas parametrizadas por $n$ funções racionais.